Question

一道初二数学几何题，

在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CB到点E，使CE=CA，，F是AE的中点，求证，BF⊥FD

Answer 1

证明：延长DA和BF交于P
ABCD是矩形,所以AP‖BE
∠APF=∠EBF
F是AE中点,AF=EF
∠AFP=∠EFB
因此△AFP≌△EFB
所以AP=BE,PF=BF
PD=AP+AD,CE=BC+BE
所以PD=CE
因为ABCD是矩形,CA=BD=CE
因此PD=BD,三角形PBD是等腰三角形
DF为底边BP中线,因此也是BP上的高
所以BF⊥DF

Answer 2

证明：延长DA和BF交于点P
因为ABCD是矩形,所以AP‖BE
所以∠APF=∠EBF
又因为F是AE的中点,所以AF=EF
∠AFP=∠EFB
因此△AFP≌△EFB
所以AP=BE,PF=BF
所以点F是BP的中点，
PD=AP+AD,CE=BC+BE
所以PD=CE=CA=DB
所以BP⊥FD(到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
所以BF⊥FD。

Answer 3

证明：延长DA和BF交于P
ABCD是矩形,所以AP‖BE
∠APF=∠EBF
F是AE中点,AF=EF
因此△AFP≌△EFB
AP=BE,PF=BF
PD=AP+AD,CE=BC+BE
所以PD=CE
因为ABCD是矩形,CA=BD=CE
因此PD=BD,三角形PBD是等腰三角形
DF为底边BP中线,因此也是BP上的高
BF⊥DF 。

Answer 4

证明：过F做FG‖AD，连接CF。
在直角梯形ADCE中，
∵FG‖AD，F为AE的中点
∴G点为CD的中点，且FG⊥CD
∴FD=FC，∠FDC=∠FCD（垂直平分线的性质）
又∵∠ADC=∠BCD=90°（矩形的性质），即∠FDC+∠ADF=∠FCD+∠BCF=90°
∴∠ADF=∠BCF(等式的性质）
又∵AD=BC（矩形的性质）
∴△ADF≌△BCF(SAS)
∴∠AFD=∠BFC(全等三角形对应角相等）
在三角形ACE中，AC=CE，点F为AE的中点（已知）
∴CF⊥AE（等角三角形的性质）
即：∠AFD+∠CFD=∠BFC+∠BFE=90°
∵∠AFD=∠BFC（已证）
∴∠CFD+∠BFC=∠BFD=90°（等量代换）
即：BF⊥FD

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