Question

高三函数难题

已知函数f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c,若存在正常数m，使f(m)=0，则不等式f(x)＜f(m)的解集是
答案：(-m,m)U空集

求详细过程

Answer 1

假设a>b>0

f(x)=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|    f(x)为偶函数

1. x<=-a      f(x)=-4x       减函数

2. -a<x<=-b   f(x)=-2x-2a  减函数

3.-b<x<b       f(x)=2a+2b   常数

4，b<=x<a   f(x)=2x-2a     增函数

5. x>=a        f(x)=4x        增函数

f(x)最小值=2a+2a

若存在正常数m，使f(m)=0，2a+2a<=c

(1)2a+2a<c

不等式f(x)＜f(m)的解集

-m<x<m

(2)2a+2a=c=0

不等式f(x)＜f(m)的解集为空集

答案：(-m,m)U空集

Answer 2

不等式化简得：
|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|<|m-a|+|m+a|+|m-b|+|m+b|
m的大小有三种情况 在(-a,a)及(-b,b)之间 在a b 之间 在a ，b 外
第一种情况不等式右边等于2a+2b 是最小值，没有任何x使左边更小 所以为空集
第二三种情况就是（-m,m）
哎 好难写 其实你在图上画画就看出来啦

追问

请问m的大小 在a b 之间，在a ，b 外
这两种情况能否再详细一些？

追答

你画一根数轴 上面四个点 -a -b b a 假设a>b吧 把m放到数轴上 可以放到-b 和b中间 也可以放到b 和a 中间 还可以放到大于a的位置 总之就是有三种放法 绝对值就是求到正负a b的距离

Answer 3

显然函数f(x)为偶函数.下面考虑x>=0的情形：
不妨设b≥a≥0
当0=<x<=a时，f(x)=2a+2b-c;
当a<x<b时，f(x)=2x+2b-c，单调递增;
当x>=b时，f(x)=4x-c，单调递增。

(1)若2a+2b-c>=0，则f(x)恒大于或等于0，故不等式f(x)＜f(m)=0的解集是空集；

（2）若2a+2b-c<0，则不等式f(x)＜f(m)=0的解集是(-m,m).

Answer 4

1.不难看出f(x)是一个偶函数，只要验证f(x)=f(-x)就可看出；
2.不妨假设a>=b>=0(因为a为负的则-a是正的，情况一样，而a小于b的情形也是一样的，所以这样的假设是合理的)，下面对x分类讨论：
0≤x≤b,f(x)=2a+2b-c
b<x≤a,f(x)=2a+2x-c
x≥a, f(x)=4x-c
根据a,b的大小关系不难看出x ≥0时f(x)是一个单调增函数，注意f(x)是偶函数，那么对于x≤0，f(x)是一个单调减函数，f(x)在-b≤x≤b取得最小值2a+2b-c，若m在0≤x≤b中，那么不等式的解集是空集，若m>b，则不等式的解集是(-m,m)。
条件“若存在正常数m，使f(m)=0”似乎是多余的..