Question

高一数学基本不等式的一题

已知x＞2
则f（x)= (x^2)-4x+6
--------------（分号）
2x-4

求最小值

Answer 1

f(x)=(x²-4x+6)/(2x-4)
=(x²-4x+4+2)/(2x-4)
=〔(x-2)²+2〕/〔2(x-2)〕
=(x-2)²/〔2(x-2)〕+2/〔2(x-2)〕
=(x-2)/2+1/(x-2)≥2√{〔(x-2)/2〕×〔1/(x-2)〕}=2√（1/2）=√2
因此当且仅当(x-2)/2=1/(x-2),即x=±√6时，函数有最小值√2

Answer 2

x2－4x＋6＝（x－2）2＋2
2x－4＝2（x－2）
f（x）＝[（x－2）2＋2]／[2（x－2）]
2（x－2）·f（x）＝（x－2）2＋2
（x－2）2－2（x－2）·f（x）＋2＝0
（x－2）2－2（x－2）·f（x）＋[f（x）]2－[f（x）]2＋2＝0
[（x－2）－f（x）]2＝[f（x）]2－2
∵左边 [（x－2）－f（x）]2≥0
∴ 右边 [f（x）]2－2＝0 是最小值
∴ f（x）＝±√2
将 f＝±√2 代人原式 得：
当 f（x）＝√2 时 ,x＝2＋√2 ＞2 符合题意
当 f（x）＝－√2 时, x＝2－√2＜2 不符合题意，舍弃
∴ 最小值是 f（x）＝√2
做题的时候记得想想一些方法，还有就是总结经验很重要的

Answer 3

x²－4x＋6＝（x－2）²＋2
2x－4＝2（x－2）
f（x）＝[（x－2）²＋2]／[2（x－2）]
2（x－2）·f（x）＝（x－2）²＋2
（x－2）²－2（x－2）·f（x）＋2＝0
（x－2）²－2（x－2）·f（x）＋[f（x）]²－[f（x）]²＋2＝0
[（x－2）－f（x）]²＝[f（x）]²－2
∵左边 [（x－2）－f（x）]²≥0
∴ 右边 [f（x）]²－2＝0 是最小值
∴ f（x）＝±√2
将 f＝±√2 代人原式 得：
当 f（x）＝√2 时 ,x＝2＋√2 ＞2 符合题意
当 f（x）＝－√2 时, x＝2－√2＜2 不符合题意，舍弃
∴ 最小值是 f（x）＝√2

Answer 4

f(x)=(x-2)/2+2/x-2>=2,利用均值定理。但要注意均值定理的满足条件。当（x-2）/2=2/(X-2)，即x=4或x=0时满足条件，已知条件已经给出X>2.所以x=4.是函数f（x）=x²-4x+6/2x-4的最小值为2