Question

已知对所有的实数x，|x+1|+√（x-1)≥m-|x-2|恒成立，则m可取的最大值为______

Answer 1

m最大值为3
∵此题的突破口在√（x-1）。
∴要满足x-1≥0
∴x≥1
即x最小值为1
而x+1，x-2都是随着x的增大而增大，x最小值为1
∴x+1最小值为2.绝对值为2 ，x-2的绝对值最小为1
所以m≤3

追问

题目是问m的最大值，为什么要让移项后左边的式子取最小值呢？
左边的式子值越大，m的值不也越大吗？

追答

把右边的丨x-2丨移到左边
这样，左边的式子≥m，意思是左边的式子的最小值要大于或等于m
我在解答中说的“x+1，x-2都是随着x的增大而增大”，是为了说明x+1和x-2是一次函数，x的增大会导致他们的值增大，所以当x取最小值时，x+1和x-2的值就最小了
而左边式子的最小值为3，这个最小值要大于或等于m，所以m最大只能取3,。所以m最大值为3

Answer 2

f(x)=|x+1|+√（x-1)+|x-2|, x≥1
当x≥2时是增函数，最小值为 f(2)=4,
当1≤x≤2时，f(x)=x+1+(2-x)+√（x-1)=3+√（x-1)是曾函数，最小值为f(1)=3,
m的最大值为3