Question

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0<θn<π/2),求证（1）数列{θn

已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=an+√((an)^2+1),令an=tanθn(0<θn<π/2),求证（1）数列{θn-π/2}是等比数列（2）a1+a2+…+an>(n-1)π/2

Answer 1

证明：

(1)

a(n+1)=an+√((an)^2+1)

a(n+1)=tan(θ(n+1))

an+√((an)^2+1)=tan(θn)+√(tan^2(θn)+1)=tan(θn)+1/(cos(θn))
=(sin(θn)+1)/(cos(θn))
=(sin(θn)+sin^2(θn/2)+cos^2(θn/2))/(cos(θn))
=(2*sin(θn/2)*cos(θn/2)+sin^2(θn/2)+cos^2(θn/2))/(cos^2(θn/2)-sin^2(θn/2))
=(sin(θn/2)+cos(θn/2))^2/((sin(θn/2)+cos(θn/2))(cos(θn/2)-sin(θn/2)))
=(sin(θn/2)+cos(θn/2))/(cos(θn/2)-sin(θn/2)))
=(tan(θn/2)+1)/(1-tan(θn/2))
=tan(θn/2+π/4)

即θ(n+1)=θn/2+π/4
θ(n+1)-π/2=(1/2)*(θn-π/2)

故{θn-π/2}是等比数列

得证

(2)

a1=tan(θ1)=1
0<θn<π/2

θ1=π/4

θ1-π/2=-π/4

θn-π/2=-(1/2)^(n-1)*π/4=-π/(2^(n+1))

θn=π/2-π/(2^(n+1))

θ1+θ2+…+θn=n*π/2-(π/4)*(2-1/(2^(n-1)))=(n-1)*π/2+(π/4)*1/(2^(n-1))>(n-1)*π/2

由0<θn<π/2

tan(θn)>θn

a1+a2+…+an=tan(θ1)+tan(θ2)+…+tan(θn)>θ1+θ2+…+θn>(n-1)*π/2

得证

Answer 2

根据“lg a1、lg a2、lg a4成等差数列”可以得到：
lga1*lga4=2*lga2
所以
a1*a4=a2*a2
a1*(a1+3*d)=(a1+d)*(a1+d)
所以
d=0或a1=d。
那么可以得到：
bn=1/[(a2)^n]=a1^(-n)或(2d)^(-n)。
显然有bn/b(n-1)=-a1或2d，所以{bn}为等比数列。
而再根据“如果无穷等比数列{bn}各项的和S=1/3”，我们分别考虑：
1、bn=a1^(-n)
那么有d=0，
Sn=(1/a1)/(1-1/a1)=1/3，此时a1=1/4。
2、bn=(2d)^(-n)
那么有Sn=a1/(1-2d)=2d/(1-2d)=1/3,所以d=1/8
这样的证明明显错误,不合题目意思,连条件都没有看青"各项为不同正数的等差数列"d=0?"
还有据题意有：an=a1+(n-1)d,d＞0，a1＞0
lga1+lga4=2lga2
bn=a(2n)