Question

O为三角形ABC一点.且满足向量OA+向量OB+向量OC=.则点O为该三角形的什么心

Answer 1

O为三角形ABC所在平面内一点,OA+OB+OC=0<=>点O是三角形ABC的重心
(OA ,OB, OC, 0为向量)
取BC中点D，连结并延长OD至E，使DE=OD,则四边形BOCE是平行四边形
∴向量OB=向量CE
∴向量OB+向量OC=向量CE+向量OC=向量OE
由向量OA+向量OB+向量OC=0得:向量OB+向量OC=-向量OA=向量AO
∴向量AO和向量OE共线===>A、O、E三点共线
而D在OE上, ∴A、O、D三点共线
而点D又是BC中点, ∴AD(即AO)是三角形ABC中BC边上的中线
同理可证BO是AC边上的中线，CO是AB边上的中线
∴点O是三角形ABC的重心。

Answer 2

设△ABC，向量OA+向量OB+向量OC=0，
延长BO到D，使得BO=DO，
∴向量OB=-向量OD，
即向量OD=向量OA+OB。
连接AD，CD，∴向量OA=向量CD，
向量OC=向量AD。
∴四边形OADC是平行四边形，
∴AC与OD相互平分，
BO在AC中线上。
同理AO，CO分别在BC，AB的中线上，
∴O是△ABC的重心。

Answer 3

点O是三角形ABC的重心。