Question

设函数f（x）=x^3+ax，g（x）=2x^2+b已知它们的图像在x=1处有相同的切线 ①求函数f（x)和g（x）的解析式

第一小题会写，第二小题不懂。
②若函数F(x)=f（x)-mg(x)在区间[1/2,3]上是单调增函数，求实数m的取值范围。

Answer 1

（1）
K（f）=f'(x)=3x²+a
K（g）=g'（x）=4x
x=1时，K（f）=K（g）
3+a=4
a=1
f（x）=x³+x
f（1）=2
f（x）过（1，2），（1，2）也在g（x）上，2+b=2，b=0
则g（x）=2x²
F（x）=f（x）-mg（x）=x³-2mx²+x在区间[1/2,3]上是单调增函数
则F'（x）=3x²-4mx+1在区间[1/2,3]上恒大于或等于0
抛物线F'(x)开口向上
分3种情况
（1）△≤0，F'(x)在区间[1/2,3]上当然恒大于或等于0
（-4m）²-12≤0............-√3/2≤m≤√3/2
(2)
△≥0
对称轴2m/3≤1/2
F'(1/2)≥0
解得:m≤-√3/2
(3)△≥0
对称轴2m/3≥3
F'(3)≥0
这个不等式组无解
总上3种情况可得到
m≤√3/2
不知有无失误之处,你自己再认真考虑

Answer 2

F'(x)=3x^2-4mx+1
大于0的时候是增函数
F'(x)=3（x-2m/3）^2+1-4m^2/3
当1-4m^2/3大于等于0时，F‘（x）恒大于0，即X在任何区间大于0，所以此时M符合要求，解出M
当1-4m^2/3小于0时。将x=1/2和x=3代入，分别求F'(x)>0的M范围
然后把两个范围综合一下就好
应该是这样做的.....我也忘得差不多了

Answer 3

a=1 b=0

F()=x^3-2mx^2+x
F(1/2)函数值小于F(3)
另外此区间内导数大于零。
用这两个条件计算即可。

Answer 4

对于f(x)在x=1点的切线是K=3x^2+a=6+a,g(x)在x=1点的切线K=4x=4，能得出a=2！带入f(x),所以切点为(1,3),将（1,3）带入g(x)得b=1