Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC和CD上，且BE＝DF＝(1/n)AB.小松同学在作题时发现，当n＝2时，s

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC和CD上，且BE＝DF＝(1/n)AB.小松同学在作题时发现，当n＝2时，sin∠EAF＝3/5，当n＝3时，sin∠EAF＝4/5，当n＝4时，sin∠EAF＝15/17，当n＝5时，sin∠EAF＝12/13
（1）当BE＝DF＝1/nAB时，sin∠EAF＝ ．
（2）证明你上面的结论．

Answer 1

解：

（1）(n²-1)/(n²+1)

（2）证明：设BE＝1，则DF＝1，CE＝CF＝n－1

连接EF，作FG⊥AE于点G

则S △AEF

＝S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF

=n²－1/2×1×n－1/2×1×n－1/2×（n－1）²

＝1/2（n²－1）

在Rt△AEG中，

FG＝AF·sin∠EAF，AE＝AF＝√(1²+n²)

∴S △AEF＝1/2（1＋n²）sin∠EAF

∴1/2（1＋n²）sin∠EAF＝1/2（n²－1）

∴sin∠EAF＝(n²-1)/(n²+1)

Answer 2

解答：解法一（高中数学方法），画图，设∠BAE=θ，则∠DAF=θ∴∠EAF=90°－2θ∴sin∠EAF=sin（90－2θ）=cos2θ=2cos²θ－1①，设正方形边长=n，则BE=DF=1由勾股定理得AE=AF=√（1＋n²），∴cosθ=n／√（1＋n²）代人①式化简得：sin∠EAF =（n²－1）／（n²＋ 1） 解法二 （初中数学方法） 由面积公式：设正方形边长=n，则BE=DF=1,EC=FC =n－1，AE=AF=√（1+n²）∴△ABE的面积×2＋△ECF的面积＋△AEF的面积=正方形面积∴½×n×1×2＋½（n－1）²＋½[√（1＋n²）]²sin∠EAF=n²，展开化简得：sin∠EAF=（n²－1）／（n²＋1）。这里用到了△的一个面积公式：S=½absin∠C，证明：只要过A 点或B点作高线即可证得。

Answer 3

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Answer 4

(n2-1)/(n2+1)，证明方法有很多种。如果你学过向量法的话，很多问题你用其他方法解决不了的话，可以试试向量法。是一种对逻辑思维能力要求比较低的方法。