Question

已知x>0,y>0,x+y=1,求证x^4+y^4≥1/8

过程详细点谢谢，不做出来不睡觉了。
反证法做

Answer 1

x+y=1 x>0,y>0,
1=x+y>=2√xy
√xy>=1/2 xy>=1/4 x=y=1/2 取等号
x^4+y^4=x^4+2x^2y^2+y^4-2x^2y^2
=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2
>=(2xy)^2-2x^2y^2 x=y=1/2 取等号
=2x^2y^2 >=2*(1/4)^2=1/8 x=y=1/2 取等号

追问

1=x+y>=2√xy
应该是√xy＜=1/2 xy＜=1/4 x=y=1/2 取等号

追答

假设x^4+y^4y,则设x=1/2+t,y=1/2-t,0=1/8
与假设矛盾，故原命题成立。
（核心技巧：均量换元）

Answer 2

【1】易知，a²+b²≥2ab.∴2(a²+b²)≥(a+b)². (a,b∈R),等号仅当a=b时取得。【2】由前面的结论可知：2(x^4+y^4)≥(x²+y²)².且2(x²+y²)≥(x+y)²=1.∴4(x²+y²)²≥1.∴8(x^4+y^4)≥4(x²+y²)²≥1.∴x^4+y^4≥1/8.等号仅当x=y=1/2时取得。