Question

在等腰三角形ABC中，角ABC=120度，点P是底边AC上一个动点，M，N分别是AB，BC的中点，PM+PN取最小值时

P是AC中点
为什么啊?怎么求证

Answer 1

题目意思就是求AC边上一点到M、N的距离和最小
这种题目可以仿照求人牵马到河边喝水的做法
做M关于AC对称点M′，然后连接M′N，M′N与AC交点即为所求点P
做MM′⊥AC于D，NE⊥AC于E
原理：由于M、M′关于AC对称，所以MD=M′D，且MM′⊥AC
∠PDM=∠PDM′，PD=PD
△MDP≌△M′DP，PM=PM′
因此，求PM+PN的最小值即求PM′+PN的最小值
所以连接M′N，此时P、M′、N在一条直线上，则和最小
证明：AB=BC，AM=AB/2，CN=BC/2
所以AM=CN
∠MDA=∠NEC
∠A=∠C
所以△MDA≌△NEC，MD=NE，AD=CE
在△M′DP和△NEP中
∠M′PD=∠NPE，∠M′DP=∠NEP=90
M′D=MD=NE
所以△M′DP≌△NEP。DP=EP
因此AD+DP=CE+EP，即AP=CP。因此P是AC中点

Answer 2

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