Question

难倒很多大学生的一道中学几何证明题，求高手解答

有一正方形ABCD,以点A为顶点作一个45度角EAF,交BC于E,交CD于F，在EF上作一垂直线AH垂直于EF，现在求证AH=AD,

请高手解答，谢谢！

Answer 1

真有那么难么？我试试：
延长CD至G，使DG=BE,连结AG.显然Rt△ABE≌Rt△ADG，于是有AE=AG①，∠BAE=∠DAG②.又∠BAE+∠FAD=90°-∠EAF=45°由此及②式得∠GAF=∠DAG+∠FAD=45°=∠EAF③.在△AEF和△AGF中，由①、③及公共边AF=AF，得△AEF≌△AGF，故AH=AD（全等三角形对应边上的高相等）.
也可以在证得△AEF≌△AGF后得到∠AFE=∠AFD（即∠AFG），又从∠AHF=∠ADF=Rt∠（即直角）知四边形AHFD是圆内接四边形，故AH=AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等）.
注：1、Rt△即直角三角形.
2、此证明之辅助线做法，是几何证明中常用的图形翻转法，即实质是将△AEF沿直线AF翻转到△AGF的位置上.也可以说是旋转法，就是将△ABE绕点A旋转到△ADG的位置上.
看来不是大学生也能证明，呵呵.5分不给不行哟.

Answer 2

过A作AG垂直于AE交CD延长线于G，证三角形AGD全等于三角形AEB，再证三角形AGF全等于三角形AEF，再证三角形AGD全等于三角形AEH，得AD=AH

Answer 3

可以用特例来证明，ah在对角线ac上即可

Answer 4

ah=ad