Question

如图，已知ABC是圆O上的三个点，且AB=15厘米，AC等于3倍根号3厘米，角BOC等于60度。如果D是线段BC上的点，

如图，已知ABC是圆O上的三个点，且AB=15厘米，AC等于3倍根号3厘米，角BOC等于60度。如果D是线段BC上的点，且点D到直线AC的距离为2，那么BD 等于多少厘米？

Answer 1

角A=30度是解题关键(圆周角)

延长AC，过D、B作DE垂直于AC，垂足为E，作BF垂直于AC，垂足为F。

利用勾股定理和相似形就可解决。

先求BF、AF

再求CF、BC

最后得BD

Answer 2

过D,B点作AC延长线的垂线，交AC延长线于E点和.F点

在△ABC中

∵AB＝15，  AC＝3√3    ∠BAC＝½∠BOC＝30°

∴BC²＝AB²＋AC²－2AB×AC×cos30°＝117

∴BC＝3√13

在RT△ABF中,∵ ∠BAF＝30°∴BF＝½AB＝7.5

又∵△CDF∽△CBF,  ∴CD∶CB＝DE∶BF

∴CD＝BC×DE÷BF＝4/5√13

BD＝3√13－4/5√13＝11/5√13

Answer 3

解：由圆周角与圆心角的关系知：∠BAC=(1/2)∠BOC=60°/2=30°.
设BC=x.则由余弦定理得：
x^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosBAC.
=15^2+(3√3)^2-2*15*3√3*√3/2.
=225+27-15*9.
=117,
x=√117.
x=3√13. (BC)
过B点作BE⊥AC交AC的延长线于E点，则BE=(1/2)AB=15/2 (厘米）。
在Rt△ABE中，cosCBE=BE/BC=(15/2)/(3√13)=5√13/26.
过D点作DF⊥AC于F点（在延长线上），
在Rt△DFC中，∠CFD=∠CBE.故，DC=DF/cos∠CBE=2/(5√13/26)=(4/5)√13.
故，BD=BC-DC=3√13-(4/5√13.
BD=11√13/5.

Answer 4

过C、D分别作垂直AB的垂线CE⊥AB，DF⊥AB。∵∠COB＝60 º ∴∠CAB＝30 º
CE＝AC/2＝3√3 /2 BE＝AB－AE＝15－9/2＝21/2
S△ADB＝S△ABC－S△ACD AB*DF/2＝AB*CE/2－AC*2/2
15*DF＝15*3√3/2-3√3*2 DF＝11√3/10
∵△BFD∽△BEC BF/BE=DF/CE BF=77/10
BD²=DF²+BF²=6292/100
BD=11√13/5 cm