Question

已知ab是两个正实数,且a不等于b,求证的a的立方+b的立方＞a的平方×b+a×b的平方

Answer 1

作差法：a的立方+b的立方-（a的平方×b+a×b的平方）= a的平方(a-b)+b的平方(b-a)=(a-b)×(a的平方-b的平方)=(a-b)的平方×(a+b)
因为a，b是两个正实数，则a+b>0且(a-b)ab的平方>0
所以a的立方+b的立方-（a的平方×b+a×b的平方）>0
所以a的立方+b的立方＞a的平方×b+a×b的平方

Answer 2

a³+b³-（a²b+ab²）
=（a+b）（a²-ab+b²）-ab（a+b）
=（a+b）（a²-ab+b²-ab）
=（a+b）（a-b）²

∵a、b都是正数，且a≠b，
∴（a+b）（a-b）²＞0
即：a³+b³＞a²b+ab²

Answer 3

a³+b³-（a²b+ab²）
=a²(a-b)+b²（b-a）
=(a-b)(a²-b²)
=(a-b)²(a+b)>0
所以a³+b³>a²b+ab²