Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。

请哪位高数 高手 帮忙 解决一下！！谢谢啦！！（提示 中值定理的 综合运用）
题目貌似有点问题，应为设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f'(ε)=-f(ε)/ε。

Answer 1

证明过程如下：

设g(x)=xf(x)，

则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。

所以g(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导且g(0)=g(1)，由罗尔中值定理得：

存在一点ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.

所以f'(ε)=-f(ε)/ε。

扩展资料：

罗尔中值定理

如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f'(ξ)=0。

参考资料来源：百度百科-罗尔中值定理

Answer 2

证明：设g(x)=xf(x),
则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得：
存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε

Answer 3

很明显题目打错了

追问

额，你专业的啊！！应该是这样的：设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f'(ε)=-f(ε)/ε。帮忙解决下！！谢谢