Question

∫(ln2,0)根号下(1-e^(-2x) )dx

本人高数不好，需要详细步骤，谢谢了。

Answer 1

令t=√(1-e^(-2x) ), t^2=(1-e^(-2x) ), e^(2x)=1/(1-t^2)
2e^(2x)dx=2tdt/(1-t^2)^2, dx=[tdt/(1-t^2)^2]/e^(2x)=tdt/(1-t^2)
不定积分：∫√(1-e^(-2x) )dx=∫t^2dt/(1-t^2)
=∫[1/(1-t^2)-1]dt=(1/2)ln[(1+t)/(1-t)]-t+C
定积分关于x的积分限0到ln2,关于t是0到(√3)/2
带入得到结果：ln(2+√3)-(√3)/2

Answer 2

不定积分∫√（1-e^(-2x)）dx
=∫√（1-e^(-2x)）dx
=∫√（e^(2x)-1）/e^xdx
=ln(e^x+√（e^(2x)-1））-√（e^(2x)-1）/e^x+C,
(其中：C是积分常数）。
∴把积分上下限值(ln2,0)
∫(ln2,0)根号下1-e^(-2x)dx
=(ln2,0)ln(e^x+√（e^(2x)-1））-√（e^(2x)-1）/e^x
=ln（2+√3）-√3/2。

追问

∫√（e^(2x)-1）/e^xdx的积分怎么算的啊？

Answer 3

∫(ln2,0)根号下(1-e^(-2x) )dx=x+0.5e^(-2x)|(ln2,0)=ln2+0.5*1/4-0.5=ln2-3/8