Question

求函数 y=cosX\(sinX-2)的值域

Answer 1

方法1：
将要用到的公式： Asinx + Bcosx = √(A² + B²) sin(x + θ)，其中 tanθ = B/A ①
原式等价于 y(sinx - 2) = cosx
即 2y = ysinx - cosx 利用 ①
= √(y² + 1) sin(x - θ) 其中 tanθ = 1/y
因为 | sin(x - θ)| ≤ 1
即 | 2y / √(y² + 1) |≤ 1
4y² / (y² + 1) ≤ 1
3y² ≤ 1
| y |≤ 1/√3
y = cosX / (sinX-2)的值域为 [ - 1/√3，+ 1/√3 ]

方法2
令A = sinx B = cosx
则 下面关于A、B的方程组有解
Ay -B - 2y = 0 ①
A² + B² = 1 ②
其几何意义是：直线①和圆②相交，所以，圆②的中心(0，0)到直线①的距离小于半径 1
即：| 2y | / √(y² + 1) ≤1 ------------------后面省略

方法3，我自己凑的方法，不建议使用，因为结果并不明显嘛
由于 ± 1/√3 是抛物线方程 f(t) = t² - 1/3 = 0 的两个根，
只要能够证明 f(y) ≤ 0 ，就说明 y = cosX / (sinX-2) 将介于其两根之间，→你画个图就知道了
f(y) = y² - 1/3 = [cosX / (sinX-2)]² - 1/3 = ....略... = - (2sinx - 1)² / [3(sinX-2)²] ≤ 0
呵呵，Game is over!
方法4：算了，不做了，还有很多

Answer 2

这个题不要用常规思想解决，用几何方法解决。具体是y=(cosx-0)/(sinx-2),看成动点(cosx,sinx)到点（0,2）的连线的斜率。动点(cosx,sinx）为半径为1，圆心在原点的圆。接下来画图，找边界，就可以了。不会可以再问问。

追问

如果用代数思想，怎么做？

追答

这个一时还真想不出来。。。。。

Answer 3

画出sinX-2的图像(向下平移两个单位),在画cosx的图像,要想使cosX\(sinX-2)得值最大,x=0时,cosX的值(此时cosx=1),与sinX-2的值(sinX-2=2）之间的距离最大,所以两函数的比值最大,当最小时同理,由图像可知值域为-1/2到1/2（闭区间）
这道题代数要复杂-3<=sinX-2<=-1,-1<=cosx<=1,这样你一比就得出值域-1到-1/3,可没有考虑到两个函数不可能同时取到最值,等于说你既要考虑函数,还要考虑角度