Question

如图,在四边形ABCD中,点E,F分别为AB,CD的中点,求证EF<½(AC+BD)

如图,在四边形ABCD中,点E,F分别为AB,CD的中点,求证EF<½(AC+BD)

Answer 1

我不会画图，不好意思了~~~
过点D做DM平行且等于AC,可知M在BC的延长线上且CM=AD
在⊿BDM中，BD＋DM＜BM,即BD＋AC＜BC＋AD ①
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴EF为ABCD的中位线
EF=½(AD＋BC) ②
由①②知EF<½(AC+BD)
希望能帮到你

Answer 2

作辅助线DP//AC，且DP=AC，连接CP，构造出平行四边形ACPD

EO=&frac12;AD,OF=&frac12;BD,所以EF=&frac12;（AD+BC）

在三角形DBP中，两边之和大于第三边，所以BD+DP>BP

即BD+AC>BP=BC+CP=BC+AD

所以EF＜&frac12;（AC+BD）得证

Answer 3

由于不知道四边形是不是梯形，假设不规则
按照下面网友同样作图
则四边形ADPC是平行四边形，连接AP则AP过F，且F是AP中点
可得EF=1/2BP
有BD+PD>BP,而PD=AC
所以BD+AC>BP
所以1/2(BD+AC)>1/2BP=EF,即原命题得证