Question

微积分题 证明不等式

（1）设点(x, y, z)位于第一象限的球面x^2+y^2+z^2=5*R^2上，其中R>0为确定的数，求w=lnx + lny+3lnz的最大值
（2）证明：对于任意正数a,b,c,成立不等式 a*b*c^3≤27*[ (a+b+c)/5]^5
第二问不会做……

Answer 1

我的做法，由均值不等式 a1a2a3a4a5<=[(a1+a2+a3+a4+a5)/5]^5
ab(c/3)^3<=[(a+b+c/3+c/3+c/3)/5]^5=[(a+b+c)/5]^5
即有abc^3<=27[(a+b+c)/5]^5

Answer 2

对于任意正数a,b,c, a*b*c^3=3a*3b*c*c*c/9<=[(3a+3b+3c)/5]^5/=27*[ (a+b+c)/5]^5
取等号条件 3a=3b=c>0

追问

有没有其他做法？总感觉有两问的问题第二问总会和第一问有点关系、、

追答

第一问xyz^3 最大值是多少？

追问

3sqrt(3)*R^5 在x=R, y=R ,z=sqrt(3)*R 时

追答

借用球面坐标 ，设a+b+c=S c=scos^2θ ，b=Ssin^2θcos^2β，a=ssin^2θsin^2β
abc^3=s^5cos^6θsin^4θcos^2βsin^2β<=S^5(1-m)^3*m^2/4<=S^5(1-m)(1-m)(1-m)*1.5m*1.5m/9
<=S^5/9*{（3-3m+3m）/5]^5= 27(s/5)^5

追问

好复杂，、、、看不懂，不过算了，呵呵，谢谢。顺便一提，我是两边取对数后设函数求导之类的做的。