Question

已知数列{an}中，a1=3/5，an=2-1/an-1（n》2），数列{bn）满足bn=1/an-1。求证数列{bn}是等差数列。

Answer 1

an=2-(1/a(n-1))
an-1=1-1/a(n-1) =[a(n-1)-1]/a(n-1)
两边取倒数得到
1/[an-1]=a(n-1)/[a(n-1)-1]=1+1/[a(n-1)-1]
也就是bn=1+b(n-1)
所以bn是等差数列
b1=1/(a1-1)=-5/2
所以bn=-5/2+1(n-1)=n-7/2
即1/(an-1) =n-3.5
所以an-1=1/(n-3.5)
所以an=1+1/(n-3.5)=1+10/(10n-35)
10/(10n-35)在(1,3)递减，（4，正无穷）递减
又a1=1+10/(10-35)=3/5
a3=1+10/(30-35)=-1
a4=1+10/(40-35)=3
n>4时an=1+10/(10n-35)>0
所以
最大项a4=3
最小项a3=-1

Answer 2

证：
an=2-1/a(n-1)
an - 1= 1 - [1/a(n-1)]=[a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an - 1)=a(n-1)/[a(n-1)-1]=[a(n-1)-1+1]/[a(n-1)-1]=1+1/[a(n-1)-1]
1/(an - 1)-1/[a(n-1)-1]=1，为定值。
1/(a1-1)=1/(3/5-1)=-5/2
bn=1/(an-1)
数列{bn}是以-5/2为首项，1为公差的等差数列