Question

在三角形ABC中,∠C=三角形ABC中，∠C=90°，AC=6. tanB=3/4，

D是BC的中点，E为AB边上的一个动点，做角DEF=90,EF交射线BC于点F。设BE=x，三角形BED的面积为y
1)求y关于x的函数关系式并写出自变量的取值范围
2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长
3）如果以BEF为顶点的三角形与三角形BED相似，求三角形BED的面积

Answer 1

D是BC的中点，E为AB边上的一个动点，做角DEF=90,EF交射线BC于点F。设BE=x，三角形BED的面积为y

1)∠C=90°，AC=6. tanB=3/4=AC/BC,BC=8,BD=4,作EG垂直BC于G,EG/BE=AC/AB,EG=3x/5,

y=(1/2)BD*EG=6x/5,5=AB/2<BE<=AB=10,5<x<=10

2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切

两圆圆心分别为D和AH中点H,设以AE=2R,两圆半径分别为4，R,圆心距=DH=4+R

作DI垂直BC于I,则CI/AH=BC/AB,CI=4R/5,DI=4-4R/5,HI=6-3R/5,DH^2=DI^2+HI^2=(4+R)^2,

(6-3R/5)^2+(4-4R/5)^2=(4+R)^2,R=5/3,AE=2R=10/3,BE=AB-AE=20/3

3）如果以BEF为顶点的三角形与三角形BED相似，则角BDE=角BEF,

过D作DJ垂直BC交AB于J,则角JED=角JDE,JE=JD=AC/2=3,BE=BJ+JE=AB/2+BE=10/2+3=8,由1)知

BE=8时，三角形BED的面积=6*8/5=48/5

Answer 2

解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6，tanB=3/4，
∴BC=8，AB=10，
∴CD=DB=4．
过点E作EH⊥CB于H．
则可求得EH=3x/5 ．
∴y=1/2×4× 3x/5=6x/5（0＜x≤16/5或5＜x≤10）．

（2）取AE的中点O，过点O作OG⊥BC于G，连接OD．
则OG=3/5 OB=3/5×(10+x)/2=3(10+x)/10 ，GD=CD-CG=4-2/5（10-x）=2x/5，
∴OD= √[9/100(10+x)^2+4x^2/25]．
若两圆外切，则可得1/2 BC+ 1/2AE=OD，
∴（BC+AE）^2=4OD^2，
∴（8+10-x）^2=4[ 9/100（10+x）^2+ 4x^2/25]
解得x=20/3．
若两圆内切，得| 1/2BC- 1/2AE|=OD，
∴（BC-AE）^2=4OD^2，
∴（8-10+x）^2=4[ 9/100（10+x）^2+ 4x^2/25]
解得x=-20/7（舍去），所以两圆内切不存在．
所以，线段BE的长为20/3．

（3）由题意知∠BEF≠90°，故可以分两种情况．
①当∠BEF为锐角时，
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，又知∠EBF=∠DBE，∠BEF＜∠BED，所以∠BEF=∠BDE．
过点D作DM⊥BA于M，过E作EH⊥BC于H．
根据等角的余角相等，可证得∠MDE=∠HDE，
∴EM=EH．
又EM=MB-EB=16/5-x，
由（1）知：EH= 3x/5，
∴ 16/5-x=3x/5，
∴x=2．
∴y= 6/5×2=12/5．
②当∠BEF为钝角时，同理可求得x-16/5=3x/5
∴x=8．
∴y= 5/5×8=48/5．
所以，△BED的面积的面积是12/5或48/5．

Answer 3

（1）根据∠B的正切值和AC的值，求出BC的值，也就求出了BD的值，然后求三角形BED的高；根据BC的长和∠B的正弦值，表示出BD边上的高，再根据三角形BED的面积公式得出y，x的函数关系式；
（2）可先表示出AE的长，过AE的中点（设为O）作BC的垂线OG，可根据OG，GD的长，来表示出OD，然后根据两圆外切和内切的不同，让两圆的半径相加或相减后等于圆心距OD，得出关于x的方程，求出x的解；
（3）若两三角形相似，则∠BEF=∠BDF．求△BED的面积就需要知道底边和高，关键是求出BE的长，可通过构建相等的线段，来得出关于x的方程求解．
分别过E，D作EH⊥BC于H，DM⊥AB于M，根据∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角，因此∠MDE=∠FEB=∠FDE．
因此可得出EM=EH，可根据EM，EH的不同的表示方法，来得出含x的等式，从而求出x的值．
也就可以求出三角形BED的面积了．
∠BEF为锐角和钝角的不同情况时，表示线段EM的式子会略有不同，但是思路是一致的，不要丢掉任何一种情况．
解题过程在2L无误，就是最后一步是∴y= 6/5×8=48/5，打错