Question

一道高中数学等差数列的题

数列{a的第n项}的前n项和为Sn，且a1=1，a的第(n+1)项=1/3*Sn（n=1，2，3……）。
求：（1）：{a的第n项}的通项公式
（2）：a2+a4+a6+……+a的第2n项

最好有详细的解题过程，谢谢！

Answer 1

（1）解：由题得，a（n）=1/3*S(n-1) （n大于1）
则a(n+1)-a（n）=1/3*Sn-1/3*S(n-1)
a(n+1)-a（n）= 1/3*a（n）
a(n+1)/ a（n）=4/3
由于a的第(n+1)项=1/3*Sn中n大于=1，所以a2前和后是两种情况
通项公式：
则当1<=n<=2时，a(n)=1/3的（n-1）次方
当n>=2时，a（n）= 1/3*4/3的（n-1）次方

(2)由上题得，可令a2为初项构建另一数列{b（n）}，则{b（n）}为初项为1/3，等比为4/3
的等比数列，没有题（1）两种情况
所以a2+a4+a6+……+a的第2n项变为b1+b2+b3....+b的2n-1项
根据等比数列前N项和公式Sn=b1*（q^n-1)/(q-1)得，
b1+b2+b3....+b的2n-1项=1/3*【4/3^(2n-1）-1】/（4/3-1）
=3/4*(16/9)^n

Answer 2

A(n+1)=1/3*Sn 所以S(n+1)=Sn+A(n+1)=Sn+1/3*Sn=4/3*Sn 所以Sn是首项为1公比为4/3的等比数列 所以Sn=(4/3)^(n-1) 所以An=1/3*S(n-1)=(4^(n-2))/(3^(n-1))
设Tn=a2+a4+a6+……+a2n =4^0/3^1+4^2/3^3+4^4/3^5+……+(4^(2n-2))/(3^(2n-1))
4^2/3^2*Tn=4^2/3^3+4^4/3^5+……+(4^(2n-2))/(3^(2n-1))+(4^(2n))/(3^(2n+1))
所以7/9*Tn=(4^(2n))/(3^(2n+1))-4^0/3^1
所以Tn=9/7(4^(2n))/(3^(2n+1))-3/21
貌似我的错了 楼下的是对的 选他的吧