Question

求由曲面z=0及z=4-x^2-y^2所围空间立体的体积？二重积分解

Answer 1

解：利用极坐标求解
联立z1=x^2+2y^2及z2=6-2x^2-y^2
消去z得x^2+y^2=2（图略。z2在上z1在下）
知方体Ω在xoy面投影区域为D:x^2+y^≤2
极坐标中0≤θ≤2π,0≤r≤√2
那么立体的Ω体积
V=∫∫(z2-z1)dxdy
=3∫∫(2-x^2-y^2)dxdy
=3∫(0,2π)dθ∫（2-r^2)rdr
=6π[2r^2-(1/4)r^4]|(0,√2)
=6π

Answer 2

应把x轴方向作为曲顶柱体高的方向，高x=√（a^2-y^2),考虑对称性，8个卦限体积相同，只算一个卦限再乘以8即可，
在yoz平面的投影d为y^2+z^2=a^2,z=√（a^2-y^2)
v=8∫[d]∫√(a^2-y^2)dydz
=8∫[0，a]dy
∫
[0，√（a^2-y^2)]
√（a^2-y^2)dz
=8∫[0，a]dy
[0，√（a^2-y^2)]
√（a^2-y^2)
z
=8∫[0,a]
（a^2-y^2)]dy
=8(a^2*y-y^3/3)[0,a]
=8(a^3-a^3/3)
=16a^3/3.