Question

求解高数题目

1.画出方程表示的曲面：z= -（√(x^2+y^2)）
2.证明极限lim [(x+y)/(x-y)]不存在
x→0,y→0
3.求函数极限lim[(x+y)sin(1/x^2+y^2)],lim[(xy)/（√（xy+1））-1]
x→0,y→0 x→0,y→0

Answer 1

解：1。这是一个顶点在坐标原点圆锥体曲面（画图形有点麻烦，约去）；
2。∵设y=kx
代入得lim(x->0,y->0) [(x+y)/(x-y)]=lim(x->0,y->0)[(1+k)/(1-k)]=(1+k)/(1-k)
显然，k取不同的值时，所求极限有不同的结果
∴极限lim(x->0,y->0) [(x+y)/(x-y)]不存在；
3。(1)∵sin(1/x^2+y^2)是有界函数
∴lim(x->0,y->0)sin(1/x^2+y^2)=M(有限值)
∵lim(x->0,y->0)(x+y)=0
∴lim(x->0,y->0)[(x+y)sin(1/x^2+y^2)]=[lim(x->0,y->0)(x+y)]*[lim(x->0,y->0)sin(1/x^2+y^2)]
=0*M
=0；
(2)lim(x->0,y->0)[(xy)/(√(xy+1)-1)]=lim(x->0,y->0)[(xy)(√(xy+1)+1)/(xy+1-1) (分子分母同乘以√(xy+1)+1)
=lim(x->0,y->0)[√(xy+1)+1]
=√(0+1)+1
=2。