Question

高三数学解析几何，求解

已知椭圆C:x2/2+y2=1的左右焦点分别是f1,f2,下顶点为A,点P是椭圆上的任一点,圆M是以PF2为直经的圆 当圆的面积为派/8求PA所在直线的方程 当圆M与直线AF1相切时求圆M的方程 求证圆M总与某个定圆相切

Answer 1

已知椭圆C:x2/2+y2=1的左右焦点分别是f1,f2,下顶点为A,点P是椭圆上的任一点,圆M是以PF2为直经的圆 当圆的面积为派/8求PA所在直线的方程 当圆M与直线AF1相切时求圆M的方程 求证圆M总与某个定圆相切
解析：∵椭圆C: x^2/2+y2=1
∴c^2=a^2-b^2=2-1=1==>F2(1,0)
∵S(圆M)= πr^2=π/8==>r=√2/4
设P(x,y)
|PF2|^2=(x-1)^2+y^2=1/2
X^2+2y^2=2
二者联立解得x1=3(不合题意舍)，x2=1,y2=±√2/2
∴P(1,-√2/2)，或P(1,√2/2)
∵A(0,-1)
∴PA所在直线的方程为y=(1+√2/2)x-1 或y=(1-√2/2)x-1

直线AF1方程：x+y+1=0
当圆M与直线AF1相切时, 圆M的某一直径必垂直直线AF1
直线AF2方程：x-y-1=0
∴AF2⊥AF1, 即P与A重合
∴PF2中点坐标(1/2,-1/2)
｜PF2｜=√2
∴圆M方程为(x-1/2)^2+(y+1/2)^2=1/2

Answer 2

先求出椭圆的焦点坐标，由焦点公式：c=sqrt（a^2-b^2），得到f2的坐标为（1,0），A点坐标为（0，-1）。
设P点坐标为（x0，y0），则有：
x0^2/2+y0^2=1；
pi/4*（（x0-1）^2+y0^2）=pi/8；
解方程组：x0=1或3，由于x0<sqrt（2），所以x0=1，y0=sqrt（2）/2。
所以，PA所在直线方程为：y=（1+sqrt（2）/2）*x-1

Answer 3

由椭圆方程可知，a^2=2，b^2=1，C^2=1
π/8=π(d/2)^2推出d^2=2即(PF2)^2=2
显然P位于椭圆与y轴焦点，即上下顶点。
所以PA所在直线方程即为y轴，即x=0.
第二问计算比较复杂，难以编写。
你可以尝试设P(X0，YO)
则M点坐标（x0+1/2,yo/2）
点M到直线距离l就出来了。
用两点间距离求出PF2长度。然后用l=PF2/2就可以解出了