已知f(x)=x平方+2x+alnx，a≠0，t≥1,f(2t-1)≥2f(t)-3，求a的取值范围
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f(x)=x^2+2x+alnx=(x+1)^2-1+alnx。
由t≥1，可知2t-1≥1，因此ln(2t-1)≥0,ln(t)≥0。
f(2t-1)=(2t-1+1)^2-1+aln(2t-1)=4t^2-1+aln(2t-1);
2f(t)-3=2t^2+4t+2aln(t)-3
由f(2t-1)≥2f(t)-3可知aln(2t-1)>-2t^2+4t+1+2aln(t)-3=-2t^2+4t+2aln(t)-2，即aln[(2t-1)/t]>-2t^2+4t-2=-2(t-1)^2≤0. 由于ln[(2t-1)/t]=ln[1+1-1/t]>0，因此按题设要求对任意t≥1上式成立，只要a>0即可。
即a的取值范围为(0,+∞)。
由t≥1，可知2t-1≥1，因此ln(2t-1)≥0,ln(t)≥0。
f(2t-1)=(2t-1+1)^2-1+aln(2t-1)=4t^2-1+aln(2t-1);
2f(t)-3=2t^2+4t+2aln(t)-3
由f(2t-1)≥2f(t)-3可知aln(2t-1)>-2t^2+4t+1+2aln(t)-3=-2t^2+4t+2aln(t)-2，即aln[(2t-1)/t]>-2t^2+4t-2=-2(t-1)^2≤0. 由于ln[(2t-1)/t]=ln[1+1-1/t]>0，因此按题设要求对任意t≥1上式成立，只要a>0即可。
即a的取值范围为(0,+∞)。
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