Question

概率论 泊松分布

设X、Y是相互独立的随机变量，分别服从参数为λ1、λ2的泊松分布，怎样证明Z=X+Y服从λ1+λ2的泊松分布？
别人给的答案是用卷积，但泊松分布是关于离散型随机变量的，可用概率密度吗？

Answer 1

若是没有记错的话，虽然卷积公式在连续型随机变量中提出来，但是有说过对于离散型随机变量也可使用，把那个积分改成求和就行了

追问

能具体为我证明此题吗？谢谢

追答

不知道公式怎么打，只能简要说一说：因为X、Y服从泊松分布且相互独立，所以P（z=k）=sum（i=0，k）[p(x=i)p(y=k-i)];sum（i=0，k）为i=0,...,k求和.代入泊松分布的公式得到：P(z=k）=sum（i=0，k）{[e^(-λ1) (λ1^i)/i!][e^(-λ2) (λ2^(k-i))/(k-i)!]*(k!/k!)},(k!/k!的加入是为了凑二项式展开式系数的形式)将(1/k!)e^(-λ1)e^(-λ2) 提出后会得到一个二项式的展开式，合并后为（λ1+λ2)^k,所以P（z=k）=(1/k!)e^(-λ1)e^(-λ2)（λ1+λ2)^k=e^[-(λ1+λ2)](λ1+λ2)^k/k!，所以服从λ1+λ2的泊松分布.