Question

在三角形ABC中,a,b,c分别是角ABC所对的边,且bcosC=(3a-c)cosb,(1)求sinB,（2），若b=2，且a=c，求三角形AB

第二问，求面积

Answer 1

1、bcosC=(3a－c)cosB，因b=2RsinB，a=2RsinA，c=2RsinC，代入，得：sinBcosC=3sinAcosB－sinCcosB，则3sinAcosB=sinBcosC＋cosBsinC=sinA，则cosB=1/3，从而sinB=2√2/3；
2、b²=a²＋c²－2accosB，解得a=(√3/2)b=√3。S=(1/2)acsinB=√2。

Answer 2

1. cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
bcosC=(3a-c)cosb
(a^2+b^2-c^2)/2a=(3a-c)*(a^2+c^2-b^2)/2ac
a^2c+b^2c-c^3=3a^3+3ac^2-3ab^2-a^2c-c^3+b^2c
3a^3-2a^2c+3ac^2-3a^2b=0
3(a^2+c^2-b^2)=2ac
(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/3 cosB=1/3 sinB=2√2/3

2. (c^2-2)/c^2=1/3 c=√3

Answer 3

bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理，
sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,
∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB,
∴sin(B+C)=3sinAcosB,sin(B+C)=sinA>0,
∴cosB=1/3,sinB=(2√2）/3.
（2）b=2，且a=c,由余弦定理，4=（2-2/3）a^2,a^2=3,
∴S△ABC=(1/2)acsinB=√2.

Answer 4

1
bcosC=(3a-c)cosB
2abcosC=6a^2cosB-2accosB
a^2+b^2-c^2=6a^2cosB-(a^2+c^2-b^2)
2a^2=6a^2cosB
cosB=1/3
sinB=2√2/3
2
cosB=a^2+b^2-c^2/2ab
a=c,b=2,cosB=b/2a=1/3,2a=3b ,a=3b/2=3,c=3
S=acsinB/2=3*3*(2√2/3)/2=3√2

Answer 5

(1)
bcosC=(3a-c)cosB
b cosC + c cosB = 3a cosB
(a^2 + b^2 - c^2)/2a + (a^2 + c^2 - b^2)/2a = 3a cosB ......余玄定理
a = 3a cosB
cosB = 1/3
∴ sinB = √{1 - (1/3)^2} = 2√2 / 3

（2）
b=2，且a=c
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosB ......余玄定理
4 = 2a^2 - 2a^2 (1/3)
6 = 3a^2 - a^2
6 = 2a^2
a = c = =√3
三角形ABC面积为 1/2 ac sinB = 1/2 ×√3 ×√3 × 2√2/3 = √2

Answer 6

(1) bcosC=(3a-c)cosb
由正弦定理
sinB cos C = (3sinA -sinC)cosB
cosB = 1/3
sinB = 2根号2 / 3
(2)
由正弦定理
b/sinB = a/sinA = C/sinC
3/根号2 = a/ cos (B/2) = a/ (2/3)
a = c = 根号2
三角形ABC面积 为 1/2 ac sinB = 1/2 根号2 * 根号2 * 2根号2 / 3 = 2根号2 / 3

三角形AB面积为 1/2