Question

不定积分的计算。

请问这步如何得到的？

Answer 1

楼上说得对，那我做下去了：
2倍角公式：cost=1-2sin²(t/2)→2sin²(t/2)=1-cost
√2a³∫(0到2π) (1-cost)^(5/2) dt
=√2a³∫(0到2π) [2sin²(t/2)]^(5/2) dt
=√2a³*4√2*∫(0到2π) sin^5(t/2) dt
=16a³*∫(0到2π) sin^5(t/2) d(t/2)
=-16a³*∫(0到2π) sin^4(t/2) dcos(t/2)
=-16a³*∫(0到2π) [1-cos²(t/2)]² dcos(t/2)
=-16a³*∫(0到2π) [1-2cos²(t/2)+cos^4(t/2)] dcos(t/2)
=-16a³*[cos(t/2)-2/3*cos³(t/2)+1/5*cos^5(t/2)](0到2π)
=-16a³*[(-1-1)-2/3*(-1-1)+1/5*(-1-1)]
=-16a³*(-2+4/3-2/5)
=-16a³*(-16/15)
=256a³/15

Answer 2

首先，根据周期函数的定积分的性质，积分区间可以变成[-π,π]
其次，被积函数是偶函数，积分等于[0,π]上积分的2倍
再次，用三角函数恒等式把1-cost变成sin(t/2)，换元u＝t/2，积分区间变成[0,π/2]
最后，套用公式∫(0到π/2) (sinx)^n dx得结果

Answer 3