Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M.

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1.(1）证明：EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM伡平面ABC，
∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，
∴BM⊥平面ACFE，
而EM伡平面ACFE，
∴BM⊥EM．
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．

∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，
即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．

∵MF∩BM=M，
∴EM⊥平面MBF． 而BF伡平面MBF，
∴EM⊥BF．

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG伡平面ABC，
∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，
∴BG⊥平面FCH．
∵FH伡平面FCH，
∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角．
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，AC=4，
∴．
由，得GC=2．
∵．

又∵△GCH～△GBM，
∴，则．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．

Answer 2

解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，
而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，∴AB=2√3 ，BC=2，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，FC/EA =1/3∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．

（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，
连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．
而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴BM=AB•sin30°= √3 ．
由FC/EA =GC/GA =1/3 ，得GC=2．∵BG=√（BM^2+MG^2） =2√3 ．
又∵△GCH∽△GBM，∴GC/BG =CH/BM ，
则CH=GC•BM/BG =2×√3 /2√3 =1．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为 √2/2 ．