Question

设函数f（x）=mx^2-mx-1,对于m∈[-2,2]f(x)<-m+5恒成立，则x的取值范围是

设函数f（x）=mx^2-mx-1,对于m∈[-2,2]f(x)<-m+5恒成立，则x的取值范围是

要详细过程和理由的，谢谢

Answer 1

mx^2-mx-1＜-m+5 故定义函数 y= mx^2-mx+m-6=m(x^2-x+1)-6, 函数中m是变量，x不是。
定义 A = x^2-x+1 , 分析可知该二次函数开口向上，最低点在x=1/2, A=3/4, 也就是说无论x如何变化，A值将恒大于0；
再回到 y = A* m -6, 这是一条直线， 无论A取何值， 该直线必过 （0，-6）点；也就是说可以将该函数看成是必过（0，-6）点的一组射线；（理解不了，也没关系）
A的最小值是 3/4， 最大值可以是无穷，但题目要求 当m<=2时，y=A*m-6<0，也就是A应小于3.
这也就是要求 A=X^2 -x +1 <3, 解这个二次函数不难得到，x的范围是(-1,2)

Answer 2

是要分3种情况 mx^2-mx-1＜-m+5 化简为 mx^2-mx+m-6＜0
1. m∈（0,2] 二次函数开口向上必存在x使得该函数值大于0
2. m=0 函数为m-6 ＜0 恒成立
3. m∈ [-2，0） 二次函数开口向下 当△＜0时 即m^2-4m(m-6)＜0时恒成立
化简该式得24m-3m^2＜0 此式在[-2，0）区间内恒成立
综上所述 m∈[-2，0]