Question

设函数f(x)=|2x-4|+1,若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围

Answer 1

1.代数法

f(x)≤ax，   即|2x-4|+1≤ax

展开得-ax+1≤2x-4≤ax-1

不妨写作不等式组① 2x-4≤ax-1

                                ②-ax+1≤2x-4

化简得          ③(a-2)x ≥-3

                                ④(a+2)x≥5

由于(a-2),(a+2)的正负情况不确定，故讨论

（1）a-2>0且a+2>0,即a>2                     不等式组的解为x≥5/(a+2)            

因为5/(a+2)>(-3)/(a-2),前者为正后者为负，同大取大

只要x ≠ -2,不等式组的解就非空，但由于是在a>2的前提下解得的，所以a>2

（2）a-2>0且a+2<0，即&Oslash;

（3）a-2<0且a+2>0,即-2<a<2               不等式组的解为5/(a+2)≤x≤(-3)/(a-2)

要使得不等式组的解非空，只需5/(a+2)≤(-3)/(a-2)，解得a≤-2或者1/2≤a≤2

但由于是在-2<a<2 的前提下解得的，所以1/2≤a<2

  (4)a-2<0且a+2<0,即a<-2                       不等式组的解为x≤5/(a+2) 

因为5/(a+2)<(-3)/(a-2),前者为负后者为正，同小取小

只要x ≠ -2,不等式组的解就非空，但由于是在a<-2  的前提下解得的，所以a<-2  

综上有a<-2或1/2≤a ，且a≠ 2

再做一遍检验，把a=-2,a=1/2,a=2带入|2x-4|+1≤ax，发现a=2也满足题意

所以最终a的取值范围为a<-2或a≥1/2

 

2.几何法

上图（我知道很难看，请将就,有好的画图工具记得推荐给我）

f(x)=|2x-4|+1的图像是V型，可先做出y=2x-4的图像，在把x轴下方的图像翻折上去再向上平移一个单位

 |2x-4|+1≤ax的解集非空的几何意义是：y=ax与y=|2x-4|+1相切或y=ax在y=|2x-4|+1的上方

图中的y=a₁x和y=a  ₂x表示不等式f(x)≤ax的解集非空的临界情况，几何意义为y=a₁x与V型区域上方的交点至少有一个，当然y=ax，a≥a₁时，y=ax与V型区域上方的交点肯定大于一个，即比y=a₁x更陡的正比例函数总有一部分区域在V型区域上方，所以a≥1/2（先联立y=2x-4+1和y=4-2x+1得到（2,1）这个点，由于y=a₁x过该点，求得a₁=1/2）

还有一种情况是当y=a  ₂x（y=a  ₂x与y=4-2x+1平行）时，它与V型区域上方没有交点，但是只要有y=ax，a<a  ₂时，y=ax就有有一部分区域在V型区域上方，所以a<-2（因为y=a  ₂x与y=4-2x+1同斜率，a  ₂=-2）

答案：a的取值范围 a≥1/2或a<-2

Answer 2

由题意：
|2x-4|+1≤ax
即
-ax-1≤2x-4≤ax+1
解得 x≤3/(2-a)且x≥5/(2+a)
要使得解集非空，只需3/(2-a)≥5/(2+a)
解得 a≥1/2