Question

一高二物理题，关于电磁感应

把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于√3R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右移动图示位置时，求：
（1）棒上电流的大小和方向及棒两端的电压Umn
（2）金属棒所受磁场力的大小和方向

Answer 1

刚开始觉得应该没有感应电压，后来仔细一分析，当金属棒向左运动时，在左边的闭合部分因为磁通量越来越大，根据法拉第电磁感应定律，会产生逆时针方向的感应电动势，大小沿左边的闭合部分均匀分布，反映在金属棒上的感应电动势是指向上面的；而在右边的闭合部分因为磁通量越来越小，会产生顺时针方向的感应电动势，反映在金属棒上的感应电动势也是指向上面的，所以并不会互相抵消。
相反因为两边磁通量的变化率都是一样的，由此在金属棒里面的感应电动势大小也是一样的。两个大小一样的感应电动势相当于是一个并联关系，所以并不会互相影响。
以圆心为原点画X,Y轴，假设某一位置时金属棒与圆环的接点与X轴之间的夹角为θ，则随着金属棒的移动，这个夹角在0~180°之间变化。当在某一个角度θ时，棒的有效切割长度L=2asinθ，此时的感应电动势：
E=BvL=Bv2asinθ，
金属棒的单位长度电阻为√3R/2a，则长度L时的电阻r=√3R/2a*(2asinθ)=√3Rsinθ.
当在图示的位置时cosθ=1/2，所以此时：
θ=π/3,
感应电动势E=√3Bva
金属棒有效电阻r=3R/2

（1）在图示位置，圆环左边部分的等效电阻r1=2R/2π*(π/3)=R/3，右边部分的等效电阻r2=5R/3,两个电阻并立案后等效电阻r'=5/18R
于是可以清楚地画出一个等效电路图，求出：
棒上电流大小I =E/(r+r')=√3Bva/(3R/2+5/18R)=16√3Bva/9R
棒两端的电压Umn=I*r'=16√3Bva/9R*(5/18R)=40√3Bva/91

（2）很显然，由于金属棒中电流向上，所以根据左手定则磁场力F应该向左。（其实不用判定，一定与运动方向相反）。
F=BIL=B*(16√3Bva/9R)*(√3a)=16B^2va^2/3R

Answer 2

先求出棒的有效长度及有效阻值，算出感应电动势和内阻r。棒将圆环分成两个部分，这两个部分并联作为外阻R，求出并联阻值，i=e/（r+R） Umn=i*R（M在上）。
金属棒所受磁场力F=Bia√3，向左

Answer 3

觉得一楼思路没错，只要处理好瞬时感应电动势和平均感应电动势的问题。这道题就基本解决了。要不楼主还可以从磁通量变化速率再运用导数的相关知识来解决瞬时且不断变化的问题。

Answer 4

根据棒到直径的距离为a/2可以求出此时切割的有效长度，根据比例可以求出此时棒的电阻，此时圆环被分为两半，根据弧长求出各自的电阻，可算棒上的电流，而此时棒两端的电压是路端电压
所受安培力可以根据F=BIL求解。