Question

已知a>0,求证根号下a^2+a^2分之一-根号下2大于等于a+a分之一-2

Answer 1

已知a>0,求证：√(a^2+1/a^2)-√2≥a+1/a-2.

∵1/[( a+1/a) -√(a^2+1/a^2)]
=[( a+1/a) +√(a^2+1/a^2)] /{[( a+1/a) +√(a^2+1/a^2)] [( a+1/a) -√(a^2+1/a^2)]}
=[( a+1/a) +√(a^2+1/a^2)] /{[( a+1/a)^2-(a^2+1/a^2)]
=[( a+1/a) +√(a^2+1/a^2)] /2……利用基本不等式
≥[2√( a•1/a) +√(2•a•1/a)]/2
=(2+√2)/2,
∴( a+1/a) -√(a^2+1/a^2)≤2/(2+√2)= 2-√2,
即√(a^2+1/a^2)-√2≥a+1/a-2.

Answer 2

(a+1/a)-√(a²+1/a²)
上下乘(a+1/a)+√(a²+1/a²)
[(a+1/a)-√(a²+1/a²)][(a+1/a)+√(a²+1/a²)]/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]
分子平方差
=(a²+2+1/a²-a²-1/a²)]/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]
=2/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]

因为a+1/a≥2√(a*1/a)=2
√(a²+1/a²)≥√2
所以(a+1/a)+√(a²+1/a²)≥2+√2
1/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]≤1/(2+√2)
2/[(a+1/a)+√(a²+1/a²)]≤2-√2
即
(a+1/a)-√(a²+1/a²)≤2-√2