Question

在平面直角坐标系xoy中，设二次函数

设平面直角坐标系xoy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图案与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。求：⑴求实数b的取值范围，⑵当b为3时求圆C的方程，⑶问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论。答案也要写，在线急等，

Answer 1

解：
⑴ 图案与y轴有个交点，因1>0，开口向上
所以，当x=0时，y=b<0;
此外，图像与x轴有两个交点，△=2²-4b>0，b<1
实数b的取值范围：b<0

⑵b=-3时，f(x)=x²+2x-3.
与y轴交点坐标,x=0,y=3，即点A（0,-3)
与x轴交点坐标，f(x)=x²+2x-3=0，x1=-3,x2=1即：B（-3,0），C（1,0）
设圆方程为：（x-m)²+(y-n)²=r
把A（0,-3)，B（-3,0），C（1,0）代入得：
（-m)²+(-3-n)²=r
（-3-m)²+(-n)²=r
（1-m)²+(-n)²=r
解得：m=n=-1,r=5
圆方程为：（x+1)²+(y+1)²=5

⑶f(x)=x2+2x+b=0,x1=-1+√(1-b);x2=-1-√(1-b);
x=0,y=b
交点坐标：（-1+√(1-b)，0）；（-1-√(1-b)，0），（0，b);
设圆方程为：（x-m)²+(y-n)²=r
圆心坐标（m,n)，圆心到三交点的距离相等，均为半径√r
〖-1+√(1-b)-m〗^2+(0-n)^2=〖-1-√(1-b)-m〗^2+(0-n)^2 =r，化简解得：m=-1;
〖-1+√(1-b)-m〗^2+(0-n)^2=（0-m)^2+(b-n)^2=r,把m=-1代入得：
〖-1+√(1-b)+1〗^2+(0-n)^2=（0+1)^2+(b-n)^2=r,化简得：n=(b+1）/2 ,r=1+〖(b-1)/2〗^2
圆方程为：（x+1)^2+〖y-(b+1)/2〗^2=1+〖(b-1)/2〗^2
经过定点（0，1） 和（-2,1）

Answer 2

解答如下：
(1)图像与y轴恒有一个交点，所以，图像与x轴有两个交点
∴△>0
即：2²-4b>0
4-4b>0
b<1
(2)【题目有误，b应该是-3，b为3时图像与x轴无交点了】
b=-3时，函数为y=x²+2x-3=（x+3）（x-1）
所以：与x轴交点是（-3，0）、（1，0），与y轴交点是（0，-3）
设圆方程为（x-a）²+（y-c）²=m
把（-3，0）、（1，0），（0，-3））代入解出a、c、m即可
（-3-a）²+c²=m
（1-a）²+c²=m
a²+（-3-c）²=m
解得：a=-1，c=-1，m=5
所以：圆的方程是：（x+1）²+（y+1）²=5
（3）............还没想出来

Answer 3

（1）由OC=OB=3，知C 连接AC，在Rt△AOC中，OA=OC×tan∠ACO= ，故A 设所求二次函数的表达式为 将C 代入得 ，解得 ，∴这个二次函数的表达式为 。（2）解法一：①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R>0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴 上，∴N（R+1，R）代入 中得，解得 。②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为 ，由①可知N ，代入抛物线方程可得 。