Question

圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cosa)2+(y-5sina)2=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F

求向量PE与向量PF的最小值

Answer 1

圆C:(x-2)²+y²=4,圆M:(x-2-5cosa)²+(y-5sina)²=1.过圆M上任意点P作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F ，求向量PE与向量PF的最小值
解：园M：[x-(2+5cosα)]²+(y-5sinα)²=(x-m)²+(y-n)²=1
其圆心坐标：m=2+5cosα，n=5sinα；即有(m-2)²+n²=25
故园M的圆心在一个园心为(2，0)，半径＝5的大园上，这个大园与园C:(x-2)²+y²=4是同心园。
基于对称性，我们取一个较为方便的位置进行研究。
取α=0，此时m=7，n=0，于是P点在(x-7)²+y²=1的小园上，这个小园与x轴有两个交点，左边
的交点P₁(6，0）；右边的交点P₂(8，0).因为P₁离园C比较近，因此切线比较短，两条切
线的夹角θ比较大，且θ是锐角，cosθ是减函数，因此由P₁作出的两条切线向量的模比较小，
cosθ的值比较小，故数量积P₁E•P₁F必是最小。
不难确定：在RT△CEP₁中，CP₁=4，CE=2，故
│P₁E│=│P₁F│=√(16-4)=√12，cos(θ/2)=(√12)/4=(√3)/2，cosθ=2cos²(θ/2)-1=1/2
∴min(PE•PF)=P₁E•P₁F=│P₁E│×│P₁F│cosθ=(√ 12)×(√ 12)×(1/2)=6.

Answer 2

圆M上任意点P可以写作P（2+5cosa，5sina）
它与园M的圆心（2,0）的距离为5，则在直角三角形PEM中，PE=根号下（pm^2-EM^2）=根号21

追问

不对哦，答案是6

追答

喔上面错了，圆M上任意点P可以写作P（2+5cosa+cosb，5sina+sinb）
它与园C的圆心（2,0）的距离为PM
PE^2=PM^2-R^2=(5cosa+cosb)^2+(5sina+sinb)^2-2^2=22+10(COS(a-b))最小值PE=根号下（22-10）=2根号3
我觉得这个方法没错，你再看看呢

追问

不好意思哈，我说错了，是求向量PE与向量PF的乘积的最小值，呵呵