Question

求抛物线y=x^2上到直线2X-y-4=0的距离最短的点的坐标及最短距离

Answer 1

直线方程y=2x-4,这种题是先假设方程y=2x+a与抛物线相切；联立两方程
y=x^2 和 y=2x+a ，得x^2-2x-a=0,则deta=（-2）^2+4a=0,解得a=-1，
将a=-1代入x^2-2x-a=0,得（x-1）^2=0,解得x=1， 代入抛物线得 y=1，
坐标（1，1）
由点到直线的距离公式可得
d=|2*1-1-4|/(2^2+1)^(1/2)=3*√5/5

Answer 2

要求的就是与2x-y-4=0平行的直线与y=x^2相切的坐标
y=2x-4所以，斜率k=2
设直线为y=2x+l
所以2x+l=x^2
所以x^2-2x-l=0因为是相切，只有一个交点
所以 b^2-4ac=0,所以 4+4l=0
所以l=-1
所以直线为y=2x-1
带入x=1,y=1

Answer 3

本来不想答了。用导数的概念解最简单。】
切线和直线平行时切点就是所求
导数y'=2x。
直线斜率=2
2x=2；x=1
此时y=1.
距离d=|2-1-4|/√5=3√5/5