一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;(2)存在k属于(0,...
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1; 展开
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1; 展开
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这两问都不难,第一问可用罗尔定理做,第二问可用柯西定理做(把f(1 /2)代替1用进去),写起来太麻烦了,不然就给你写写。。。。
追问
第二问纠结了好久,可以写几部引导下吗?0_0 Thanks
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令G(x)=f(x)-x。G(1)=f(1)-1=-1<0,G(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0.由零点定理可知,至少存在一点 n 属于(1/2,1)使得 G(n)=0,即 f(n)=n。
第二个问,
没推出来,唉~~老了
第二个问,
没推出来,唉~~老了
追问
第二个问我一点头绪都没- -!不知道如何构造辅助函数,谢谢您的帮忙
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