Question

在△ABC中,已知tan(A-B)/2=a-b/a+b,其中a/sinA=b/sinB=c/sinC。及A≠B。求证角C=90°

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Answer 1

tan(A-B)/2=(a-b)/(a+b),
根据正弦定理得：
tan(A-B)/2=(sin A -sin B)/(sin A +sin B),
右边和差化积得：
tan(A-B)/2=[2cos(A+B)/2sin(A-B)/2]/[2sin(A+B)/2cos(A-B)/2]
即tan(A-B)/2= cot(A+B)/2 tan(A-B)/2,
∵A≠B，∴tan(A-B)/2≠0.
所以cot(A+B)/2=1，
(A+B)/2 =45°，
A+B=90°，
∴C=90°.