Question

一道初三数学题

如图(1),一块直角梯形模块ABCD，AD‖BC，AB⊥BC，且AD=7，BC=13，CD=6√2.
（1）求AB的长.
（2）如图（2），将足够打的直角三角板EFG的直角顶点E放在AD边上（不与A、D重合），问能否适当移动点E在AD上的位置，使得三角板的两直角边分别经过点B和点C？若能，求出此时AE的长：若不能，说明理由。
（3）如图（3),再次移动点E在AD上的位置，并使得三角板的一直角边EF过点B，另一直角边EG交BC边于点H，问是否存在点E，使得四边形EDCH为平行四边形？若存在，求出此时AE的长：若不存在，说明理由。
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Answer 1

（1）AB=√[CD^2-(BC-AD)^2]=√[(6√2)^2-(13-7)^2]=6
（2）∠BEC=∠A ①
∠ECB=90°-∠BEC=∠ABE
∴∠ECB=∠ABE ②
由①②得△ECB∽△ABE
∴AE/BE=BE/BC
∴BE^2=AE*BC=13AE
又∵BE^2=AE^2+AB^2=AE^2+36
∴AE^2+36=13AE
∴AE=4或9（不合），即AE=4
（3）若存在，则EH=DC=6√2,ED=CH，设ED=x
∵AE//BC
∴∠AEB=∠EBH ①
∠A=∠BEH=90° ②
∴△ABE∽△EBH
∴AE/EB=EB/BH=AB/EH=6/(6√2)
即EB=√2(AD-ED)=√2(7-x)
EB=(BC-CH)/√2=(13-x)/√2
∴√2(7-x)=(13-x)/√2
∴x=1
∴AE=AD-x=7-1=6

Answer 2

第一问：
做DP⊥BC于E，则ABPD是矩形
PC=BC-AD=13-7=6
AB=DP=根号(CD^2-PC^2)=根号{(6根号2)^2-6^2} = 6

第二问：
假设AD线段内存在E点，使∠BEC=90°
令AE=x，x∈（0，7）
做EF⊥BC于F，则ABFE是矩形
BF=AE=x，EF=AB=6
FC=BC-BF=13-x
BE^2=AB^2+AE^2=6^2+x^2
CE^2=FC^2+EF^2=(13-x)^2+6^2
∠BEC=90°
BE^2+CE^2=BC^2
6^2+x^2+(13-x)^2+6^2=13^2
x^2-13x-36=0
(x-4)(x-9)=0
x=9＞7，舍去
x=4符合要求
∴能适当移动点E在AD上的位置，使得三角板的两直角边分别经过点B和点C。
此时AE=4

第三问：
设存在E点使∠BEH=90°，并且EDCH是平行四边形
令AE=x，x∈（0，7）
则ED=AD-x=7-x
在第一问中已知AB=DP=6，PC=6
∴∠C=45°
又：EDCH是平行四边形
∴∠EHB=∠C=45°，EH=DC=6根号2，HC=ED=7-x
∴∠HBE=90°-45°=45°
∴BE=EH=DC=6根号2
又：BH=BC-HC=13-(7-x)=6+x
BH=根号2*EH
6+x=根号2*6根号2
x=6，符合要求
∴存在点E，使得四边形EDCH为平行四边形
此时AE=6

Answer 3

（1）过D作DH垂直BC于H，则四边形ABDH为矩形，CH=BC-BH=BC-AD=6，在Rt△CDH中，由勾股定理，DH=√（CD^2-CH^2） =6，故AB=DH=6；
（2）以BC为直径作圆，则圆半径r=0.5BC=6.5，由上小题，AB=6<r，知圆与直线AD有两个交点，下面求这两个交点的位置：设圆心为O,E为一交点，OE=r=6.5，过E作EN垂直BC于N，在Rt△EON中，EN=BC=6，OE=6.5，求得ON=2.5，N可能在BO上，也可能在OC上，故BN=BO+ON=4或BN=BO-ON=9，AE=BN=4（求出的AE小于AD说明E在线段AD上，只有4符合题意,9舍去）
（3）假设存在，令AE=x，DE=7-x=CH，BE=√（AE^2+AB^2）=√（x^2+36），BH=BC-CH=BC-DE=x+6，EH=CD=6√2（平行四边形）,在Rt△BEH中，BH^2=BE^2+EH^2，即（x+6）^2=(x^2+36)+72解得，x=6（大于0且小于7），故这样的E点是存在的，AE=6

Answer 4

2。假设E点存在，我们可设AE=X，那么ED=7-x，AB=h=6
根据直角三角形勾股定理，我们可知道BE的平方+EC的平方=BC的平方
BE的平方=X的平方+6的平方
EC的平方=（7-X）的平方+6的平方
BC的平方=13*13=169
即X的平方-7X-24=0
那么根据求根公式 b的平方-4ac<0 即无解
所以 E点不存在

Answer 5

（2）把ABCD先补成长方体ABCI（具体补法：延长AD，做CH⊥AD延长线与H）
设AE为X ,EI=AI-AE=BC-AE=13-X
∵AE²+AB²=EB²
EI²+IC²=EC²
EB²+EC²=BC²
∴AE²+AB²+EI²+IC²=BC²
∵IC=AB=6 BC=13
∴72+2X²-13X=0
解得X=4
或X=9（舍弃，9大于AD长度）

（3）存在。
设AE=X 则DE=7-X CH=7-X BH=13-(7-X)=X+6
∵EH²+BE²=BH²
BE²=AE²+AB²=X²+6²=X²+36
BH²=(X+6)²=X²+12X+36
EH²=DC²=72(因为EDCH是平行四边形，所以EH=CD的）
∴12X=72
X=6

多给点分吧，都是初中学的方法，应该也是最简单做法，每步都是我化简完的

Answer 6

过A作AI//DI
AI=CD=6√2
BI=BC-AD=13-7=6
根据勾股定理
AB=√AI^2-BI^2=6

过E作EG⊥BC交BC于G点
同样根据勾股定理列式
BE^2=AE^2+AB^2
CE^2=(BC-BG)^2+EG^2
BC^2=BE^2+CE^2
设AE的长为X
13^2=X^2+6^2+(13-X)^2+6^2
2X^2-26X+72=0
X^2-13X+36=0
(X-4)(X-9)=0
X1=4 X2=9舍

过E作EK⊥BC于K点
若EDCH为平行四边形则ED=HC
KH=BH-BK=(BH+HC)-(AE+ED)=BC-AD=6
EB^2=AE^2+AB^2=AE^2+36
BH=BK+KH=AE+6 BH^2=AE^2+12AE+36
EH^2=CD^2=72
EB^2+EH^2=BH^2
AE^2+36+72=AE^2+12AE+36
12AE=72
AE=6