Question

一道线性代数习题

链接是http://zhidao.baidu.com/question/256641922.html 两边都回答就两边都采纳，给力啦

Answer 1

我用另一个方法证明.

由已知可得
(β1,β2,...,βr) =(α1,α2,...,αr)A (*)
其中A是r行r列的方阵, 且A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0

用分块矩阵的乘法可验证(*)式.

(*)式其实表明了: 向量组S2可由S1线性表示

容易计算 |A| = (r-1)(-1)^(r-2)
由 r > 1 所以 |A| ≠0 , A可逆.
故(*)式可写成 (β1,β2,...,βr)A^(-1) =(α1,α2,...,αr).
此式表示 向量组S1可由S2线性表示.

所以向量组S1与S2等价.
所以 r(S1) = r(S2).

注: 此证明方法具有普遍性. 特别是需要求出 S1表示S2的具体表达式时特别有效,
这个具体表达式是通过计算A的逆计算出来的, 而不是观察看出来的!

Answer 2

由已知可得
(β1,β2,...,βr) =(α1,α2,...,αr)A (*)
其中A是r行r列的方阵, 且A=
0 1 1 ... 1
1 0 1 ... 1
1 1 0 ... 1
... ...
1 1 1 ... 0

用分块矩阵的乘法可验证(*)式.