Question

设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列的前n项和为Tn，已知bn大于0，a1=b1=1,a2+b3=a3，S5=5（T3+b2）

字母后面的数字均为下标。
（1）求数列{an}{bn}的通项公式
（2）求和：b1/(T1*T2)+b2/(T2*T3)+......bn/(Tn*Tn+1)

Answer 1

分析：等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，
a1=b1=1,a2+b3=a3，S5=5（T3+b2），
设an=1+(n-1)d，bn=q^(n-1)，
有b1=1，b3=a3-a2=d，
因为S5=5(T3+b2)，S5=5a3，T3=b1+b2+b3=1+b2+d，
所以5a3=5(1+b2+d+b2)，得到5a3-5(1+d)=5(a3-1)-5d=10b2，
又因为a3-a1=a3-1=2d，代人得到b2=1/2d，
有b1=1，b2=1/2d，b3=d，
所以公比q=b2/b1=b3/b2，所以d/2=2，得到d=4，q=2，
{an}：an=1+4(n-1)=4n-3，Sn=(2n-1)n；
{bn}：bn=2^(n-1)，Tn=2^n-1；
(2)b1/(T1*T2)+b2/(T2*T3)+......bn/(Tn*Tn+1)
=1/1*3+2/3*7+4/7*15+......
=1/2*[(1-1/3)+(1/3-1/7)+(1/7-1/15)+........]
=1/2*{1-1/[2^(n+1)-1]}

Answer 2

1、可设an=1+（n-1）d，bn=1*q^(n-1)=q^(n-1)；
a2+b3=1+d+q^2=a3=1+2d，d=q²；
S5=（1+1+4d）*5/2=5（T3+b2）=5（1+q+q²+q）=5（1+q）²=5（1+2d），
（1+q）²=（1+2q²），q²-2q=0，q=2（q=0舍去）；
d=q²=4；
an=1+4（n-1)=4n-3，
bn=2^（n-1)
2、bn/(Tn*Tn+1)=2^（n-1)/[(1-2^n)/(1-2)*(1-2^n+1)/(1-2)]
=2^（n-1)/(1-2^n)*(1-2^（n+1)）=1/2*【1/(2^n-1)-1/（2^(n+1)-1）】
b1/(T1*T2)+b2/(T2*T3)+......bn/(Tn*Tn+1)=1/2*【1-1/3+1/3-1/7+1/7-1/15+…+1/（2^(n-1)-1