Question

设函数f(x)=ax-b/x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0

1,）求函数的解析式
2）证明：曲线f（X）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值

Answer 1

f(x)=ax-b/x的导函数为a+b/x^2 x^2表示x平方
7x-4y-12=0斜率为7/4，即x=2时，导函数的值为7/4，即a+b/4=7/4
并且通过点(2,f(2))，即7*2-4*（2a-b/2）-12=0
此关于a,b的二元一次方程联立可得，a=1,b=3
原函数为f(x)=x-3/x
导函数为=1+3/x^2
对f(x)函数上任一点z的切线,过点（z,z-3/z），斜率为1+3/z^2
切线方程y=(1+3/z^2)x-6/z
(这一步知道斜率和直线上的一点求直线方程应该是直接有公式，不过太久不碰数字了，记不清，设成y=ax+b硬算的)
此直线与x=0的交点为(0,-6/z)
与y=x的交点为(2z,2z)
(分别把x=0和y=x代入即可解出)
围成的三角形面积=1/2*（-6/z）*（2z）(取绝对值)
面积=6为定值