Question

求线性方程组的基础解系 通解的方法

Answer 1

1. 将增广矩阵经初等行变换化成行阶梯形 (此时可判断解的存在性)
2. 有解的情况下, 继续化成行简化梯矩阵
非零行的首非零元所处的列对应的未知量是约束变量, 其余未知量是自由未知量
例: 非齐次线性方程组
1 2 0 4 5 (第一行的首非零元是a11=1, 对应未知量 x1)
0 0 1 6 7 (第二行的首非零元是a23=1, 对应未知量 x3)
所以自由未知量就是 x2,x4, 令它们分别取 1,0; 0,1 直接得通解:
(5,7,0,0)+c1(-2,1,0,0)+c2(-4,0,-6,1)

不清楚请追问

追问

书上是
A=1 1 0 1
0 0 1 3
0 0 0 0
0 0 0 0
原方程组的同解方程组
X1=-X2-X4
X3=-3X4
去未知变量的值
X2=1,0
X4=0 1
得到X1 X2
然后是基础解析 ---没有未知数的列向量
这个看不懂

追答

你这例子是 齐次线性方程组
有了基础解系, 通解就是基础解系的线性组合
刚才我的例子, 自由未知量都取0, 得特解. 取 1,0; 0,1 得的是基础解系.

你的例子中
x2=1,x4=0 代入
X1=-X2-X4
X3=-3X4
得 x1=-1,x3=0. 合起来就是 (-1,1,0,0)
x2=0,x4=1 时类似

追问

X1=-X2-X4
X3=-3X4
这个是怎么得到的？
书上
（X1）=（-1），（-1）
（X3）=（0），（-3）
基础解系A=[-1 B={
1
0 }
这里还是不懂哈
0}

追答

每一行对应一个方程, 方程的系数就是这一行中的数字
A=1 1 0 1 对应 x1+x2+0x3+x4 = 0
0 0 1 3 对应 x3 + 3x4 = 0 (0系数的不要了)
0 0 0 0
0 0 0 0
然后把自由未知量移到等式右边就行了.

基础解系上面说了 x2=1,x4=0 的情况.
代入
X1=-X2-X4
X3=-3X4
得 x1=-1,x3=0. 合起来就是 (-1,1,0,0)'. 写成列的形式就是你上成的A.

你试试 x2=0,x4=1 的情况哈

追问

1 0 3\2 1
0 1 -2\7 2
0 0 0 0
按刚刚的方法的话只有X2 是约束变量

追答

x1 也是呀
有几个非零行 就有几个约束变量

追问

这个我懂 就是说对于这个题来说只要任意的取两个未知量就好 然后计算剩下的两个？

追答

是这样!
但是, 化成行简化梯矩阵的目的就是为了方便计算, 所以不是随便任意的取两个未知量, 而是取首非零元所在列对应的未知量.