Question

关于圆的数学证明题

如图所示，在半圆O的直径AB上任取一点E，以A为圆心，AE为半径画弧交半圆于C，以B为圆心，以BE为半径画弧交半圆于D，连接CD，找到CD的中点P，连接PE，证明，PE为⊙A和⊙B的公切线

Answer 1

连结AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F
∴CE‖DF，∠AEC=90°，∠BFE=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
又∵∠CAB是△ACB和△AEC的公共角，
∴△ACB∽△AEC，
∴AC：AB=AE：AC
即PA2=AC2=AE•AB，
同理PB²=BD²=BF•AB．
两式相减可得PA²-PB²=AB（AE-BF），
∴PA²-PB²=（PA+PB）（PA-PB）=AB（PA-PB），
∴AE-BF=PA-PB，即PA-AE=PB-BF，
∴PE=PF，
∴点P是线段EF的中点．
∵M是CD的中点，
∴MP是直角梯形CDEF的中位线，
∴MP⊥AB，
∴MP分别与⊙A和⊙B相切．