Question

在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD,连接EG，FH,交点为O

在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD,连接EG，FH,交点为O。
（1）如图，连接EF,FG,GH,HE，试判断四边形EFCH的形状，并证明你的结论。

Answer 1

(1)由已知条件易证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EF＝FG＝GH＝HE，于是可得四边形EFGH是菱形，又可证有一内角为90°，于是可说明其为正方形．(2)图5－2－9③中阴影部分可证明为正方形，且其边长为2－1＝1(cm)，故其面积为1cm2.
解：(1)四边形EFGH是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA
∵HA＝EB＝FC＝GD
∴AE＝BF＝CG＝DH
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴EF＝FG＝GH＝HE
∴四边形EFGH是菱形
由△DHG≌△AEH知∠DHG＝∠AEH
∵∠AEH＋∠AHE＝90°
∴∠DHG＋∠AHE＝90°
∴∠GHE＝90°
∴四边形EFGH是正方形．
(2)1cm2

Answer 2

解：（1）四边形EFGH是正方形．（1分）
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，（2分）
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，（3分）
∴EF=FG=GH=HE，（4分）
∴四边形EFGH是菱形，（5分）
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，（6分）
∴四边形EFGH是正方形．（7分）
（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，
∴GF=EF=EH=GH=12+22=5，
∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，
∴GO=OF，∠GOF=90°，
由勾股定理得：GO=OF=102，
∵S四边形FCGO=12×1×2+12×102×102=94，
∴S阴影=(102+102)2-S四边形FCGO×4=10-9=1．
点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用．

Answer 3

因为HA=EB=FC=GD，所以点E,F,G,H就为四条边上的中点，所以EG,FH相等且垂直，所以四边形EFGH为正方形。我是一大学生了，不晓得对不对，哎

Answer 4

http://wenku.baidu.com/view/7e38e6acdd3383c4bb4cd258.html，在第28页（标准哦）(*^__^*)