设函数f(x)=-x^2+4ax-3a^2,若0<a<1,x属于[1-a,1+a]时,恒有-a<=f(x)<=a成立,试确定a的取值范围 40
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f(x)=-x^2+4ax-3a^2
=-(x-a)(x-3a)
x≥1-a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≥-a
8a²-7a+1≤0
解得(7-√17)/16)≤a≤(7+√17)/16
x≤1+a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≤a
=-(x-a)(x-3a)
x≥1-a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≥-a
8a²-7a+1≤0
解得(7-√17)/16)≤a≤(7+√17)/16
x≤1+a
f(x)=-(x-a)(x-3a)≤a
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f(x)=-(x-2a)^2+a^2 对称轴x=2a
1+a-2a=1-a>0 所以1+a在2a右侧
现在讨论1-a在2a哪侧
一、(1-a)-2a>0时,即0<a<1/3
区间【1-a,1+a】在对称轴右侧
f(x)max=f(1-a)≤a 结果恒成立
f(x)min=f(1+a)≥-a结果 1/3≤a<1
所以这情况无解
二、(1-a)-2a<0即1/3≤a<1
对称轴在【1-a,1+a】
f(x)max=f(2a)≤a 0<a<1
f(1-a)≥-a 7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16
f(1+a)≥-a 1/3≤a<1
由以上2种情况可得
因此a在 【[1/3,(7+√17)/16】
1+a-2a=1-a>0 所以1+a在2a右侧
现在讨论1-a在2a哪侧
一、(1-a)-2a>0时,即0<a<1/3
区间【1-a,1+a】在对称轴右侧
f(x)max=f(1-a)≤a 结果恒成立
f(x)min=f(1+a)≥-a结果 1/3≤a<1
所以这情况无解
二、(1-a)-2a<0即1/3≤a<1
对称轴在【1-a,1+a】
f(x)max=f(2a)≤a 0<a<1
f(1-a)≥-a 7+√17)/16≤a≤(7+√17)/16
f(1+a)≥-a 1/3≤a<1
由以上2种情况可得
因此a在 【[1/3,(7+√17)/16】
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