Question

已知 x+5y+3z=1 则x^2+y^2+z^2的最小值为

Answer 1

首先 x+5y+3z=1表示一个平面，x^2+y^2+z^可认为是半径未知的圆，设为R，即求R^2的最小值，即原点到平面x+5y+3z=1距离的平方，平面x+5y+3z=1的法向量为a=（1,5,3），在平面x+5y+3z=1任取一点A（1，0，0），得 d=[(1，0，0)*(1,5,3)]/|a|，|a|=根号（1^2+5^2+3^2）=根号35，所以d=根号35/35，则x^2+y^2+z^2的最小值为1/35。
如有错误，再问我

追问

这是一道用数列求解的问题

Answer 2

取x=y=z,所以x=y=z=1/9,最小值为1/27

Answer 3

(x^2+y^2+z^2)(1+4+9)>=(x+2y+3z)^2=1
所以 x^2+y^2+z^2>=1/14

Answer 4

令x=y=z
x+5x+3x=1
x=y=z=1/9
x2+y2+z2=(1/9)*(1/9)*3=1/27

Answer 5

√(x^2+y^2+z^2)为x+5y+3z-1=0上的点(x,y,z)到原点(0,0,0)的距离，此值最小时x^2+y^2+z^2自然是最小值。所以所求即为原点到平面x+5y+3z-1=0的距离！！
该平面法向量n=(1,5,3)，对于直线上一点(x0,y0,z0)，过该点且垂直于该平面的直线方程为x-x0=(y-y0)/5=(z-z0)/3。
当该直线过原点时，即(0,0,0)在直线方程上，有-x0=-y0/5=-z0/3，令均等于k，则x0=-k，y0=-5k，z0=-3k，带入平面方程中有-k-25k-9k=1，解得k=-1/35
(x0,y0,z0)=(1/35,1/7,3/35)，此点到原点的距离为d=√[(1/35)^2+(1/7)^2+(3/35)^2]
此题所求x^2+y^2+z^2的最小值即为(1/35)^2+(1/7)^2+(3/35)^2=1/35