Question

高中数学题

已知函数f(x)=(x^2/2)+alnx，g(x)=(a+1)x,其中a属于R，且a≠-1, (1)若两个函数在区间〔1，2〕上都是单调函数且单调性相同，求a取值范围 (2)设H(x)=f(x)-g(x),若α，β(α＜β且β属于(1，e])是函数H(x)的两个极致点，证明：对任意x1,x2属于[α，β]，都有|H(x1)-H(x2)|＜1成立(参考值e＝2.71828)

Answer 1

析：f(x)=(x^2/2)+alnx的导数为（x^3+a）/x
（1）由于g(x)=(a+1)x为一次函数，先从g(x)的单调性入手：
在区间〔1，2〕上，当a＞－1时g(x)递增，此时x^3+a＞0即f(x)的导数＞0，f(x)也递增，成立；
当a＜－1时g(x)递减，此时去寻找使得f(x)递减的a的值，即即(x)的导数＜0的a的值，即x^3+a＜0恒成立的a的值，即a＜－x^3在区间〔1，2〕上恒成立的a的值，所以a≤－8
综上所述，当a≤－8或a＞－1时满足要求。
（2） H(x)=f(x)-g(x)＝)=(x^2/2)+alnx－(a+1)x，则 H(x)的导数为（x^3+a－ax－x）/x
＝（x－1）（x^2＋x－a）/x，由于若α，β为H(x)的两个极值点，且0＜α＜β，所以只有α＝1，
且β为方程x^2＋x－a＝0的那一个正根（另一根必为负，舍去）当x∈（α，β）时，H(x)单调递减，当x∈（β，＋∞）时H(x)单调递增，
所以对任意x1,x2属于[α，β]，都有|H(x1)-H(x2)|≤H(α)-H(β)（重要的转化！）＝H(1)-H(β)
下面只需要证明H(1)-H(β)＜1即可

Answer 2

少年.....................................

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题来了

Answer 3

现在的怎么都这么艮啊！提问的时候不把问题写出来让人怎么帮你解答呀！唉~问问老师多方便啊！

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题来了

Answer 4

哇靠。。。题目在哪里啊少年？

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题来了