Question

概率论 期望

对一台仪器进行重复测试，直到发生故障为止，假定测试是独立的，每次测试发生故障的概率为0.1，求次数X的数学期望。

Answer 1

1 2 ... k .........
0.1 0.9*0.1 ... 0.9^(k-1)*0.1 .........
E(X) =1*0.1 + 2*0.9*0.1 +...+ k*0.9^(k-1)*0.1+...
E(X) =0.1(1 + 2*0.9 +...+ k*0.9^(k-1)+...)
10E(X)=1 + 2*0.9 +...+ k*0.9^(k-1)+... A
0.9*10E(X)=0.9 + 2*0.9^2 +...+(k-1)*0.9^(k-1)+ k*0.9^k+...
9E(X)=0.9 + 2*0.9^2 +...+(k-1)*0.9^(k-1)+ k*0.9^k+... B
A-B
E(X)=1+ 2*0.9 -0.9 +3*0.9^2-2*0.9^2 +... k*0.9^(k-1)-(k-1)*0.9^(k-1)+...
E(X)=1+0.9+0.9^2+...+0.9^(k-1)+..
E(X)=1/(1-0.9)=10

追问

还请问一下：对圆直径做近似测量，其值均匀分布在[a,b], 求圆面积的数学期望 谢谢

追答

记直径为d
则依题意
d服从[a,b]上的均匀分布
那么E(d)=(a+b)/2,D(d)=(b-a)^2/12
E(S)=E(π(d/2)²)
=π/4 E(d²)
=π/4 [E(d)²+D(d)]
=π/4[(a+b)²/4+(b-a)²/12]
=(a²+ab+b²)π/12