Question

一道高中数学三角函数题…

已知m=(sinwx,coswx),n=(coswx,coswx),(w>0)若函数f(x)=m*n-1/2的最小正周期是4兀
(1)求函数取最值时的取值集合（2）(2a－c)cosB=bcosC,求函数f(A)取值范围

Answer 1

先整理化简
f（x）=向量mn-1/2=sinwxcoswx+（coswx）^2-1/2=1/2sin2wx+1/2cos2wx=√2/2sin(2wx+π/4)
最小正周期是4兀 ,最小正周期是4兀 ,w=1/4,f（x）=√2/2sin(1/2x+π/4)
(1)当sin(1/2x+π/4)=-1取得最小值-√2/2,此时1/2x+π/4=-π/2+2kπ,x=-3π/2+4kπ
当sin(1/2x+π/4)=1取得最大值√2/2,，此时1/2x+π/4=π/2+2kπ.x=π/2+4kπ
（2）(2a-c)cosB=bcosC
由正弦定理a/sinA=b/sinB=csinC=2R
则(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC
2sinAcosB=sin(B+C)
2sinAcosB=sin(180-A)
2sinAcosB=sinA
sinA≠0,所以cosB=1/2,B=π/3
A=2π/3-C,0<A<2π/3,π/4<1/2A+π/4<7π/12，√2/2<sin(1/2A+π/4)≤1
所以1/2<f(A)≤√2/2

Answer 2

1
f(x)=2sinwxcoswx-1/2=sin2wx-1/2
T=2π/2w=4π 2w=1/2 f(x)=sin(x/2)-1/2
x=π+4kπ(k整数）,f(x)最大=1-1/2=1/2
x=3π+4kπ(k整数）f(x)最小=-1-1/2=-3/2
2
a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
(2a-c)cosB=bcosC
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sin(B+C)
2cosB=1
cosB=1/2,B=π/3
f(B)=sin(B/2)-1/2=√3/2 - 1/2
A+C=π-B=2π/3,C>0, 0<A<2π/3
-1/2<f(A)<sin(π/3)-1/2
-1/2<f(A)<0

Answer 3

f（x）=sinwxcoswx+（coswx）^2-1/2=1/2*sin2wx+1/2*cos2wx-1=√2/2*sin(2wx+π/4)-1，其最小正周期是2π/（2w）=4π得：w=1/4。f（x）=√2/2*sin(1/2*x+π/4)-1
（1）当sin(1/2*x+π/4)=-1是取得最小值，此时1/2*x+π/4=-π/2+2kπ，x=-3π/2+4kπ，k为整数。
当sin(1/2*x+π/4)=1是取得最大值， 此时1/2*x+π/4=-π/2+2kπ，x=π/2+4kπ，k为整数。
（2）由a/sinA=b/sinB=c/sinC及（2a－c)cosB=bcosC得：2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0。整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC，即：2sin（A+C)cosA=sin（A+C），求得cosA=1/2，A=60°